Dai Giochi d'azzardo al ... calcolo della probabilità'

Prima di intraprendere una qualunque azione, noi cerchiamo sempre di valutare i pro e i contro facendo, sia pure in modo inconsapevole, un calcolo delle probabilità. Storicamente, il calcolo delle probabilità è nato per...gioco.

Nella Francia del XVII secolo frequentando i salotti delle classi sociali più elevate ci s'imbatteva facilmente nei giocatori di professione, cioè persone benestanti la cui principale occupazione consisteva nel gioco d'azzardo. Un giorno, uno di questi gentiluomini, un certo Cavaliere de Mèré, fannullone, ma di vivace ingegno, stanco di perdere, si rivolse a Blaise Pascal, chiedendogli se esistesse un metodo per vincere.

Pascal ascoltò con molta attenzione le questioni prospettategli e ne restò subito affascinato, non perché intravide la possibilità di favolosi guadagni al gioco, ma piuttosto perché ne colse l'aspetto matematico. Ne parlò ad un suo collega, il matematico francese Pierre de Fermat, e fu così che ebbe origine il primo tentativo matematico di calcolare il caso nel gioco. Il problema specifico era come vincere al gioco dei dadi. La questione posta era la seguente: "Gettando un dado otto volte un giocatore deve tentare di fare uno, ma dopo tre tentativi non riusciti il gioco viene interrotto; in che misura ha diritto alla posta?".

NŠ Pascal nŠ Fermat, la corrispondenza tra i quali rappresentò l'effettivo inizio della moderna teoria della probabilità, diedero una stesura sistematica ai loro risultati, ma nel 1657 Huygens pubblicò un trattatello, "De ratiociniis in ludo aleae" (sui ragionamenti nel gioco dei dadi), che era stato ispirato dalla corrispondenza dei due matematici francesi.

Nel frattempo Pascal aveva collegato lo studio della probabilità al triangolo aritmetico, sviluppando le ricerche in questo campo molto al di l… del punto cui era giunto Cardano un secolo prima, cosicché‚ la disposizione triangolare fu nota in seguito come triangolo di Pascal (vedi fig.).

Il triangolo stesso era noto da oltre 600 anni, ma Pascal ne rivelò nuove proprietà, come la seguente:

"In ogni triangolo aritmetico, di due cellule contigue nella stessa base, quella superiore sta a quella inferiore come il numero delle cellule, che vanno dalla superiore alla cima della base, sta al

numero di quelle che vanno dall'inferiore al fondo della base."

Pascal chiamava le posizioni disposte nella stessa colonna verticale "cellule dello stesso rango perpendicolare", e quelle disposte nella stessa fila orizzontale" cellule dello stesso rango parallelo", quelle disposte nella stessa diagonale le chiamava" cellule della stessa base".

Il metodo usato da Pascal per dimostrare la suddetta proprietà era più significativo della proprietà stessa. Infatti l'importanza del trattato del triangolo aritmetico non consiste, come spesso è stato asserito, nell'enunciato dello sviluppo del binomio per le potenze intere e positive che era nato da più di un secolo e pubblicato e dimostrato da numerosi autori (Tartaglia). Il rigore logico delle dimostrazioni che si appoggiano tutte sull'uso continuo e metodico del principio di induzione matematica scoperto da Maurolico, fa di questo trattato un modello a cui si ispireranno i matematici nei secoli successivi.

Pascal dimostrò eccezionale abilità nel chiarire i concetti e condivide con Fermat e altri il merito di aver sviluppato il ragionamento ricorsivo. Fermat sperava di attirare l'interesse di Pascal sulla teoria dei numeri, e nel 1654 gli inviò l'enunciato di uno dei suoi più bei teoremi.

"Ogni numero intero è composto da uno, due o tre numeri triangolari, da uno, due, tre o quattro quadrati, da uno, due, tre, quattro o cinque pentagoni, da uno, due, tre, quattro, cinque o sei esagoni e così via all'infinito".

Pascal, però, era un matematico dilettante e non si affaticò intorno a questo problema. Tuttavia studiò un problema della teoria dei numeri molto discusso a quel tempo: una formula per calcolare la somma delle n-esime potenze dei primi n. interi consecutivi: per trovarla si rifece al triangolo aritmetico, al ragionamento ricorsivo ed all'analisi infinitesimale.